Ravan, sferni ili hiperbolički oblik našeg svemira?

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-16 15:59

Po našem mišljenju, univerzum je beskonačan. Danas znamo da Zemlja ima oblik kugle, ali rijetko razmišljamo o obliku Univerzuma. U geometriji postoji mnogo trodimenzionalnih oblika kao alternativa "poznatom" beskonačnom prostoru. Autori objašnjavaju razliku u najpristupačnijem obliku.

Gledajući noćno nebo, čini se da se prostor vječno širi u svim smjerovima. Ovako zamišljamo Univerzum – ali ne i činjenica da je istinit. Uostalom, bilo je vremena kada su svi mislili da je Zemlja ravna: zakrivljenost zemljine površine je neprimjetna, a ideja da je Zemlja okrugla izgledala je neshvatljivo.

Danas znamo da je Zemlja u obliku kugle. Ali rijetko razmišljamo o obliku svemira. Kako je sfera zamijenila ravnu Zemlju, drugi trodimenzionalni oblici nude alternative "poznatom" beskonačnom prostoru.

Mogu se postaviti dva pitanja o obliku svemira - odvojena, ali međusobno povezana. Jedan je o geometriji - pedantan proračun uglova i površina. Drugi je o topologiji: kako se odvojeni dijelovi spajaju u jednu formu.

Kosmološki podaci sugeriraju da je vidljivi dio Univerzuma gladak i homogen. Lokalna struktura prostora izgleda gotovo isto u svakoj tački i u svakom smjeru. Samo tri geometrijska oblika odgovaraju ovim karakteristikama - ravan, sferni i hiperboličan. Pogledajmo redom ove oblike, neka topološka razmatranja i zaključke zasnovane na kosmološkim podacima.

Ravni univerzum

U stvari, ovo je školska geometrija. Zbir uglova trokuta iznosi 180 stepeni, a površina kruga je πr2. Najjednostavniji primjer ravnog trodimenzionalnog oblika je običan beskonačan prostor, matematičari ga nazivaju Euklidskim, ali postoje i druge ravne opcije.

Nije lako zamisliti ove oblike, ali svoju intuiciju možemo povezati razmišljajući u dvije dimenzije umjesto u tri. Osim uobičajene euklidske ravni, možemo stvoriti i druge ravne oblike tako što ćemo izrezati komad ravnine i zalijepiti njegove rubove. Recimo da smo izrezali pravougaoni komad papira i zalijepili mu suprotne ivice trakom. Ako zalijepite gornju ivicu za donju ivicu, dobićete cilindar.

Desnu ivicu možete zalijepiti i za lijevu - tada dobijemo krofnu (matematičari ovaj oblik zovu torus).

Vjerovatno ćete prigovoriti: "Nešto nije baš ravno." I bićeš u pravu. Malo smo varali oko ravnog torusa. Ako zaista pokušate da napravite torus od komada papira na ovaj način, naići ćete na poteškoće. Lako je napraviti cilindar, ali neće uspjeti zalijepiti njegove krajeve: papir će se zgužvati duž unutrašnjeg kruga torusa, ali neće biti dovoljan za vanjski krug. Dakle, morate uzeti neku vrstu elastičnog materijala. Ali rastezanje mijenja dužinu i uglove, a time i cijelu geometriju.

Nemoguće je konstruisati pravi glatki fizički torus od ravnog materijala unutar običnog trodimenzionalnog prostora bez izobličenja geometrije. Ostaje da se apstraktno spekuliše o tome kako je živjeti unutar ravnog torusa.

Zamislite da ste dvodimenzionalno biće čiji je univerzum ravan torus. Budući da je oblik ovog univerzuma zasnovan na ravnom listu papira, sve geometrijske činjenice na koje smo navikli ostaju iste - barem u ograničenoj skali: uglovi trougla su zbirni do 180 stepeni, itd. Ali sa promjenom globalne topologije kroz obrezivanje i lijepljenje, život će se dramatično promijeniti.

Za početak, torus ima ravne linije koje se petljaju i vraćaju na početnu tačku.

Na iskrivljenom torusu izgledaju zakrivljeno, ali stanovnicima ravnog torusa izgledaju ravno. A pošto svjetlost putuje pravolinijski, onda ako pogledate direktno u bilo kojem smjeru, vidjet ćete sebe s leđa.

Kao da je na originalnom komadu papira svjetlost prošla kroz vas, otišla do lijeve ivice, a zatim se ponovo pojavila na desnoj, kao u video igrici.

Evo još jednog načina da razmislite o tome: vi (ili zrak svjetlosti) prijeđete jednu od četiri ivice i nađete se u novoj prostoriji, ali u stvari je to ista soba, samo iz drugog ugla. Lutajući kroz takav univerzum, naići ćete na beskrajan broj kopija originalne sobe.

To znači da ćete uzeti beskonačan broj kopija sebe gdje god pogledate. Ovo je neka vrsta efekta ogledala, samo što ove kopije nisu baš odrazi.

Na torusu svaki od njih odgovara jednoj ili drugoj petlji, duž koje vam se svjetlost vraća.

Na isti način dobivamo ravan trodimenzionalni torus lijepljenjem suprotnih strana kocke ili druge kutije. Nećemo moći da prikažemo ovaj prostor unutar običnog beskonačnog prostora - on jednostavno neće stati - ali ćemo moći apstraktno spekulisati o životu u njemu.

Ako je život u dvodimenzionalnom torusu poput beskonačnog dvodimenzionalnog niza identičnih pravokutnih prostorija, onda je život u trodimenzionalnom torusu poput beskrajnog trodimenzionalnog niza identičnih kubnih soba. I vi ćete vidjeti beskonačan broj vlastitih primjeraka.

Trodimenzionalni torus je samo jedna od deset varijanti konačnog ravnog svijeta. Postoje i beskonačni ravni svjetovi - na primjer, trodimenzionalni analog beskonačnog cilindra. Svaki od ovih svjetova imat će svoju "sobu smijeha" sa "odrazima".

Može li naš svemir biti jedan od ravnih oblika?

Kada pogledamo u svemir, ne vidimo beskonačan broj vlastitih kopija. Bez obzira na to, uklanjanje ravnih oblika nije lako. Prvo, svi imaju istu lokalnu geometriju kao Euklidski prostor, tako da ih neće biti moguće razlikovati lokalnim mjerenjima.

Recimo da ste čak i vidjeli svoju kopiju, ova udaljena slika samo pokazuje kako ste vi (ili vaša galaksija u cjelini) izgledali u dalekoj prošlosti, budući da je svjetlost prešla dug put dok nije stigla do vas. Možda čak i vidimo svoje kopije - ali promijenjene do neprepoznatljivosti. Štaviše, različite kopije su na različitim udaljenostima od vas, tako da nisu iste. A osim toga, toliko daleko da još ništa nećemo vidjeti.

Da bi zaobišli ove poteškoće, astronomi obično ne traže svoje kopije, već ponavljajuće karakteristike u najudaljenijem vidljivom fenomenu - kosmičkom mikrotalasnom pozadinskom zračenju, ovo je relikt Velikog praska. U praksi, to znači traženje parova krugova sa odgovarajućim uzorcima toplih i hladnih tačaka - pretpostavlja se da su isti, samo sa različitih strana.

Astronomi su upravo takvu pretragu obavili 2015. zahvaljujući svemirskom teleskopu Planck. Sastavili su podatke o vrstama podudarnih krugova koje očekujemo da ćemo vidjeti unutar ravnog 3D torusa ili drugog ravnog 3D oblika - takozvane ploče - ali nisu pronašli ništa. To znači da ako živimo u torusu, onda se čini da je toliko velik da svi fragmenti koji se ponavljaju leže izvan vidljivog svemira.

Sferni oblik

Vrlo su nam poznate dvodimenzionalne sfere - ovo je površina lopte, narandže ili Zemlje. Ali šta ako je naš univerzum trodimenzionalna sfera?

Crtanje trodimenzionalne sfere je teško, ali ga je lako opisati jednostavnom analogijom. Ako je dvodimenzionalna sfera skup svih tačaka na fiksnoj udaljenosti od neke središnje točke u običnom trodimenzionalnom prostoru, trodimenzionalna sfera (ili "trisfera") je skup svih tačaka na fiksnoj udaljenosti od neke centralna tačka u četvorodimenzionalnom prostoru.

Život unutar trisfere se veoma razlikuje od života u ravnom prostoru. Da biste to vizualizirali, zamislite da ste dvodimenzionalno biće u dvodimenzionalnoj sferi. Dvodimenzionalna sfera je cijeli Univerzum, stoga ne možete vidjeti trodimenzionalni prostor koji vas okružuje i ne možete ući u njega. U ovom sfernom svemiru, svjetlost putuje najkraćim putem: u velikim krugovima. Ali ti se ovi krugovi čine pravim.

Sada zamislite da se vi i vaš 2D drugar družite na Sjevernom polu, a on je otišao u šetnju. Udaljavajući se, u početku će se postepeno smanjivati u vašem vizualnom krugu - kao u običnom svijetu, iako ne tako brzo kao što smo navikli. To je zato što kako vaš vizuelni krug raste, vaš prijatelj ga sve manje zauzima.

Ali čim vaš prijatelj prijeđe ekvator, događa se nešto čudno: počinje se povećavati, iako se u stvari nastavlja udaljavati. To je zato što se procenat koji oni zauzimaju u vašem vizuelnom krugu povećava.

Tri metra od južnog pola, vaš prijatelj će izgledati kao da stoji tri metra od vas.

Došavši do Južnog pola, potpuno će ispuniti cijeli vaš vidljivi horizont.

A kada na Južnom polu nema nikoga, vaš vizuelni horizont će biti još čudniji - to ste vi. To je zato što će se svjetlost koju emitujete širiti po sferi dok se ne vrati.

Ovo direktno utiče na život u 3D carstvu. Svaka tačka trisfere ima suprotnost, i ako se tamo nalazi neki objekat, videćemo ga na celom nebu. Ako tu nema ničega, vidjet ćemo sebe u pozadini - kao da je naš izgled naložen na balon, pa izvrnut naopačke i naduvan do cijelog horizonta.

Ali iako je trisfera temeljni model za sfernu geometriju, ona je daleko od jedinog mogućeg prostora. Kako smo gradili različite ravne modele rezanjem i lijepljenjem komada euklidskog prostora, tako možemo graditi i sferne lijepljenjem odgovarajućih komada trisfere. Svaki od ovih zalijepljenih oblika će, kao i torus, imati efekat "sobe smijeha", samo će broj prostorija u sfernim oblicima biti konačan.

Šta ako je naš svemir sferičan?

Čak i najnarcisoidniji od nas sebe ne vide kao pozadinu umjesto noćnog neba. Ali, kao iu slučaju ravnog torusa, činjenica da nešto ne vidimo uopšte ne znači da to ne postoji. Granice sfernog univerzuma mogu biti veće od granica vidljivog svijeta, a pozadina se jednostavno ne vidi.

Ali za razliku od torusa, sferni univerzum se može otkriti korištenjem lokalnih mjerenja. Sferni oblici se razlikuju od beskonačnog euklidskog prostora ne samo po globalnoj topologiji, već i po maloj geometriji. Na primjer, pošto su prave linije u sfernoj geometriji veliki krugovi, trouglovi su tamo "debeljuškasti" od euklidskih, a zbir njihovih uglova prelazi 180 stepeni.

U osnovi, mjerenje kosmičkih trouglova je glavni način da se provjeri koliko je svemir zakrivljen. Za svaku toplu ili hladnu tačku na kosmičkoj mikrotalasnoj pozadini poznati su njen prečnik i udaljenost od Zemlje, koja formira tri strane trougla. Možemo izmeriti ugao koji formira tačka na noćnom nebu - i to će biti jedan od uglova trougla. Tada možemo provjeriti da li kombinacija dužina stranica i zbira uglova odgovara planarnoj, sfernoj ili hiperboličnoj geometriji (gdje je zbir uglova trokuta manji od 180 stepeni).

Većina ovih proračuna, zajedno s drugim mjerenjima zakrivljenosti, pretpostavlja da je svemir ili potpuno ravan ili vrlo blizu njega. Jedan istraživački tim nedavno je sugerirao da neki od podataka Planck svemirskog teleskopa iz 2018. više govore u prilog sferičnog svemira, iako su drugi istraživači tvrdili da se predstavljeni dokazi mogu pripisati statističkoj grešci.

Hiperbolička geometrija

Za razliku od sfere, koja se zatvara u sebe, hiperbolička geometrija ili prostor sa negativnom zakrivljenošću otvara se prema van. Ovo je geometrija šešira širokog oboda, koralnog grebena i sedla. Osnovni model hiperboličke geometrije je beskonačan prostor, baš kao ravni Euklid. Ali pošto se hiperbolički oblik širi prema van mnogo brže od ravnog, ne postoji način da se čak ni dvodimenzionalna hiperbolička ravan uklopi unutar običnog euklidskog prostora, ako ne želimo da iskrivimo njegovu geometriju. Ali postoji iskrivljena slika hiperboličke ravni poznate kao Poincareov disk.

Sa naše tačke gledišta, trouglovi blizu graničnog kruga izgledaju mnogo manji od onih blizu centra, ali sa tačke gledišta hiperboličke geometrije, svi trokuti su isti. Ako bismo pokušali prikazati ove trokute zaista iste veličine - možda koristeći elastični materijal i napuhujući svaki trokut naizmjenično, krećući se od centra prema van - naš disk bi nalikovao šeširu širokog oboda i savijao bi se sve više i više. I kako se približavate granici, ova krivina bi izmakla kontroli.

U običnoj euklidskoj geometriji, obim kruga je direktno proporcionalan njegovom poluprečniku, ali u hiperboličnoj geometriji, krug raste eksponencijalno u odnosu na radijus. U blizini granice hiperboličkog diska formira se gomila trokuta

Zbog ove karakteristike matematičari vole da kažu da se lako izgubiti u hiperboličkom prostoru. Ako se vaš prijatelj udalji od vas u normalnom euklidskom prostoru, on će početi da se udaljava, ali prilično polako, jer vaš vizuelni krug ne raste tako brzo. U hiperboličkom prostoru, vaš vizuelni krug se eksponencijalno širi, tako da će se vaš prijatelj uskoro smanjiti na beskonačno malu mrlju. Dakle, ako niste pratili njegovu rutu, malo je vjerovatno da ćete ga kasnije pronaći.

Čak iu hiperboličnoj geometriji, zbir uglova trougla je manji od 180 stepeni - na primer, zbir uglova nekih trouglova iz mozaika Poincaréovog diska je samo 165 stepeni.

Čini se da su njihove strane indirektne, ali to je zato što hiperboličku geometriju gledamo kroz izobličujuću leću. Za stanovnika Poincaréovog diska ove krive su zapravo prave linije, tako da je najbrži način da se od tačke A do tačke B (obe na ivici) dođe kroz rez do centra.

Postoji prirodan način da se napravi trodimenzionalni analog Poincaréovog diska - uzmite trodimenzionalnu loptu i ispunite je trodimenzionalnim oblicima, koji se postepeno smanjuju kako se približavaju graničnoj sferi, poput trokuta na Poincaréovom disku. I, kao i kod ravnina i sfera, možemo stvoriti čitav niz drugih trodimenzionalnih hiperboličkih prostora izrezivanjem odgovarajućih komada trodimenzionalne hiperboličke lopte i lijepljenjem njenih lica.

Pa, da li je naš Univerzum hiperboličan?

Hiperbolička geometrija, sa svojim uskim trouglovima i eksponencijalno rastućim krugovima, uopće nije poput prostora oko nas. Zaista, kao što smo već primijetili, većina kosmoloških mjerenja naginje ravnom svemiru.

Ali ne možemo isključiti da živimo u sferičnom ili hiperboličkom svijetu, jer mali fragmenti oba svijeta izgledaju gotovo ravno. Na primjer, zbir uglova malih trouglova u sfernoj geometriji je tek nešto veći od 180 stepeni, a u hiperboličnoj geometriji samo nešto manji.

Zato su stari mislili da je Zemlja ravna - zakrivljenost Zemlje nije vidljiva golim okom. Što je veći sferni ili hiperbolički oblik, to je svaki njegov dio ravniji, stoga, ako naš Univerzum ima izuzetno veliki sferni ili hiperbolički oblik, njegov vidljivi dio je toliko blizu ravnom da se njegova zakrivljenost može otkriti samo ultra preciznim instrumentima, a mi ih još nismo izmislili…