Šta su fraktali: ljepota matematike i beskonačnost

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-16 15:59

Fraktali su poznati već stoljeće, dobro su proučavani i imaju brojne primjene u životu. Međutim, ovaj fenomen se temelji na vrlo jednostavnoj ideji: mnoštvo oblika, beskonačne ljepote i raznolikosti, može se dobiti iz relativno jednostavnih struktura koristeći samo dvije operacije - kopiranje i skaliranje.

Šta je zajedničko drvetu, morskoj obali, oblaku ili krvnim sudovima u našoj ruci? Na prvi pogled može se činiti da svi ovi objekti nemaju ništa zajedničko. Međutim, u stvari, postoji jedno svojstvo strukture svojstveno svim navedenim objektima: oni su sami sebi slični. Od grane, kao i od debla, idu manje grane, od njih - još manje itd., odnosno grana je kao cijelo drvo.

Cirkulatorni sistem je raspoređen na sličan način: arteriole odlaze iz arterija, a iz njih - najmanji kapilari kroz koje kisik ulazi u organe i tkiva. Pogledajmo satelitske snimke morske obale: vidjet ćemo zaljeve i poluotoke; pogledajmo ga, ali iz ptičje perspektive: vidjet ćemo uvale i rtove; Sada zamislimo da stojimo na plaži i gledamo u svoja stopala: uvijek ima kamenčića koji strše u vodu dalje od ostalih.

Odnosno, obala ostaje slična sebi kada se uveća. Američki (iako odrastao u Francuskoj) matematičar Benoit Mandelbrot nazvao je ovo svojstvo objekata fraktalnošću, a same takve objekte - fraktalima (od latinskog fractus - slomljen).

Šta je fraktal?

Ovaj koncept nema strogu definiciju. Dakle, riječ "fraktal" nije matematički pojam. Tipično, fraktal je geometrijska figura koja zadovoljava jedno ili više od sljedećih svojstava: • Ima složenu strukturu pri bilo kojem povećanju (za razliku od, na primjer, prave linije, čiji je bilo koji dio najjednostavniji geometrijski lik - a linijski segment). • Je (približno) sam sebi sličan. • Ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke. • Može se izgraditi sa rekurzivnim procedurama.

Geometrija i algebra

Proučavanje fraktala na prelazu iz 19. u 20. vek bilo je pre epizodično nego sistematsko, jer su raniji matematičari uglavnom proučavali "dobre" objekte koji su bili podložni istraživanju korišćenjem opštih metoda i teorija. Godine 1872. njemački matematičar Karl Weierstrass konstruirao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, njegova konstrukcija je bila potpuno apstraktna i teško uočljiva.

Stoga je 1904. Šveđanin Helge von Koch izmislio neprekidnu krivu, koja nigdje nema tangente, a nacrtati ju je prilično jednostavno. Ispostavilo se da ima svojstva fraktala. Jedna od varijanti ove krive se zove "Koch pahulja".

Ideje o samosličnosti figura preuzeo je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. Godine 1938. objavio je svoj članak "Ravne i prostorne krive i površine, koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini", koji opisuje drugi fraktal - Lévyjevu C-krivu. Svi ovi gore navedeni fraktali mogu se uslovno pripisati jednoj klasi konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamički (algebarski) fraktali, koji uključuju Mandelbrotov skup. Prva istraživanja u ovom pravcu započela su početkom 20. veka i povezuju se sa imenima francuskih matematičara Gastona Julije i Pjera Fatua. Godine 1918. objavljeni su Julijini memoari od skoro dvije stotine stranica, posvećeni iteracijama složenih racionalnih funkcija, u kojima su opisani Julijini skupovi - cijela porodica fraktala usko povezana sa Mandelbrotovim skupom. Ovo djelo je nagrađeno nagradom Francuske akademije, ali nije sadržavalo niti jednu ilustraciju, pa je bilo nemoguće cijeniti ljepotu otkrivenih predmeta.

Unatoč činjenici da je ovo djelo proslavilo Juliju među matematičarima tog vremena, brzo je zaboravljeno. Tek pola veka kasnije, kompjuteri su ponovo skrenuli pažnju: upravo su oni učinili vidljivim bogatstvo i lepotu sveta fraktala.

Fraktalne dimenzije

Kao što znate, dimenzija (broj mjerenja) geometrijske figure je broj koordinata potrebnih za određivanje položaja točke koja leži na ovoj figuri.

Na primjer, položaj tačke na krivulji određen je jednom koordinatom, na površini (ne nužno ravni) s dvije koordinate, u trodimenzionalnom prostoru sa tri koordinate.

Sa općenitijeg matematičkog gledišta, dimenziju možete definirati na ovaj način: povećanje linearnih dimenzija, recimo, dvaput, za jednodimenzionalne (sa topološke točke gledišta) objekte (segment) dovodi do povećanja veličine (dužina) dva puta, za dvodimenzionalni (kvadrat) isto povećanje linearnih dimenzija dovodi do povećanja veličine (površine) za 4 puta, za trodimenzionalne (kocka) - za 8 puta. To jest, "stvarna" (tzv. Hausdorffova) dimenzija može se izračunati kao omjer logaritma povećanja "veličine" objekta prema logaritmu povećanja njegove linearne veličine. To jest, za segment D = log (2) / log (2) = 1, za ravan D = log (4) / log (2) = 2, za zapreminu D = log (8) / log (2) = 3.

Izračunajmo sada dimenziju Kochove krive, za čiju konstrukciju je jedinični segment podijeljen na tri jednaka dijela, a srednji interval je zamijenjen jednakostraničnim trouglom bez ovog segmenta. Sa povećanjem linearnih dimenzija minimalnog segmenta tri puta, dužina Kochove krive raste u log (4) / log (3) ~ 1, 26. To jest, dimenzija Kochove krive je razlomka!

Nauka i umjetnost

Godine 1982. objavljena je Mandelbrotova knjiga "Fraktalna geometrija prirode" u kojoj je autor prikupio i sistematizovao gotovo sve tada dostupne informacije o fraktalima i prikazao ih na jednostavan i pristupačan način. Mandelbrot je u svom izlaganju glavni naglasak stavio ne na glomazne formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja. Zahvaljujući kompjuterski generisanim ilustracijama i istorijskim pričama, kojima je autor vešto razblažio naučnu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali poznati široj javnosti.

Njihov uspjeh među nematematičarima uvelike je rezultat činjenice da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje srednjoškolac može razumjeti dobijaju slike zadivljujuće složenosti i ljepote. Kada su personalni računari postali dovoljno moćni, pojavio se čak i čitav trend u umetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao da uradi skoro svaki vlasnik računara. Sada na Internetu možete lako pronaći mnoge stranice posvećene ovoj temi.

Rat i mir

Kao što je gore navedeno, jedan od prirodnih objekata sa fraktalnim svojstvima je obala. Za njega je povezana jedna zanimljiva priča, odnosno pokušaj mjerenja njene dužine, koja je bila osnova Mandelbrotovog naučnog članka, a opisana je i u njegovoj knjizi "Fraktalna geometrija prirode".

Ovo je eksperiment koji je postavio Lewis Richardson, veoma talentovani i ekscentrični matematičar, fizičar i meteorolog. Jedan od pravaca njegovog istraživanja bio je pokušaj da se pronađe matematički opis uzroka i vjerovatnoće oružanog sukoba između dvije zemlje. Među parametrima koje je uzeo u obzir bila je i dužina zajedničke granice dvije zaraćene zemlje. Kada je prikupio podatke za numeričke eksperimente, otkrio je da se u različitim izvorima podaci o zajedničkoj granici između Španije i Portugala veoma razlikuju.

To ga je navelo da otkrije sljedeće: dužina granica jedne zemlje ovisi o vladaru s kojim ih mjerimo. Što je skala manja, granica je duža. To je zbog činjenice da je s većim povećanjem moguće uzeti u obzir sve više obalnih zavoja, koji su prethodno bili zanemareni zbog hrapavosti mjerenja. A ako se, sa svakim povećanjem skale, otvaraju prethodno neobračunate krivine linija, onda se ispostavlja da je dužina granica beskonačna! Istina, u stvarnosti se to ne događa - tačnost naših mjerenja ima konačnu granicu. Ovaj paradoks se zove Richardsonov efekat.

Konstruktivni (geometrijski) fraktali

Algoritam za konstruisanje konstruktivnog fraktala u opštem slučaju je sledeći. Prije svega, potrebna su nam dva prikladna geometrijska oblika, nazovimo ih baza i fragment. U prvoj fazi je prikazana osnova budućeg fraktala. Zatim se neki od njegovih dijelova zamjenjuju fragmentom uzetim u odgovarajućoj mjeri - ovo je prva iteracija konstrukcije. Zatim, rezultirajuća figura opet mijenja neke dijelove u figure slične fragmentu, itd. Ako ovaj proces nastavimo beskonačno, onda u granici dobijamo fraktal.

Razmotrimo ovaj proces koristeći Kochovu krivu kao primjer. Kao osnovu za Kochovu krivu, možete uzeti bilo koju krivulju (za "Koch pahulju" to je trokut). Ali mi ćemo se ograničiti na najjednostavniji slučaj - segment. Fragment je isprekidana linija prikazana na vrhu slike. Nakon prve iteracije algoritma, u ovom slučaju, početni segment će se poklopiti sa fragmentom, zatim će svaki njegov sastavni segment biti zamijenjen isprekidanom linijom, slično fragmentu, itd. Slika prikazuje prva četiri koraka ovaj proces.

Jezikom matematike: dinamički (algebarski) fraktali

Fraktali ovog tipa nastaju u proučavanju nelinearnih dinamičkih sistema (otuda i naziv). Ponašanje takvog sistema može se opisati kompleksnom nelinearnom funkcijom (polinomom) f (z). Uzmite neku početnu tačku z0 na kompleksnoj ravni (pogledajte bočnu traku). Sada razmotrite takav beskonačan niz brojeva na kompleksnoj ravni, od kojih se svaki od sljedećih dobija iz prethodnog: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

U zavisnosti od početne tačke z0, takav niz se može ponašati različito: teži ka beskonačnosti kao n -> ∞; konvergirati do neke krajnje tačke; ciklički uzimati određeni broj fiksnih vrijednosti; moguće su i složenije opcije.

Kompleksni brojevi

Kompleksni broj je broj koji se sastoji od dva dijela - realnog i imaginarnog, odnosno formalnog zbroja x + iy (ovdje su x i y realni brojevi). ja je tzv. imaginarna jedinica, odnosno broj koji zadovoljava jednačinu i ^ 2 = -1. Osnovne matematičke operacije su definisane nad kompleksnim brojevima - sabiranje, množenje, deljenje, oduzimanje (samo operacija poređenja nije definisana). Za prikaz kompleksnih brojeva često se koristi geometrijski prikaz - na ravni (naziva se kompleksna), realni dio se polaže na apscisu, a imaginarni dio na ordinatu, dok će kompleksni broj odgovarati tački s kartezijanskom koordinate x i y.

Dakle, bilo koja tačka z kompleksne ravni ima svoj karakter ponašanja tokom iteracija funkcije f (z), a cijela ravan je podijeljena na dijelove. U ovom slučaju, točke koje leže na granicama ovih dijelova imaju sljedeće svojstvo: za proizvoljno mali pomak, priroda njihovog ponašanja se naglo mijenja (takve se točke nazivaju točke bifurkacije). Dakle, ispada da skupovi tačaka sa jednim specifičnim tipom ponašanja, kao i skupovi tačaka bifurkacije, često imaju fraktalna svojstva. Ovo su Julia skupovi za funkciju f (z).

Porodica zmajeva

Variranjem baze i fragmenta, možete dobiti nevjerovatnu raznolikost konstruktivnih fraktala.

Štaviše, slične operacije se mogu izvoditi u trodimenzionalnom prostoru. Primjeri volumetrijskih fraktala su Mengerov sunđer, piramida Sierpinskog i drugi.

Porodica zmajeva se takođe naziva konstruktivnim fraktalima. Ponekad se nazivaju po imenu otkrića "zmajevi sa autoputa-Harter" (po svom obliku podsjećaju na kineske zmajeve). Postoji nekoliko načina za crtanje ove krive. Najjednostavniji i najintuitivniji od njih je sljedeći: trebate uzeti dovoljno dugačku traku papira (što je papir tanji, to bolje) i presavijati je na pola. Zatim ga ponovo dvaput savijte u istom smjeru kao i prvi put.

Nakon nekoliko ponavljanja (obično nakon pet ili šest savijanja, traka postaje predebela da bi se dalje uredno savijala), morate je odvojiti unazad i pokušati formirati uglove od 90˚ na naborima. Tada će krivulja zmaja ispasti u profilu. Naravno, ovo će biti samo aproksimacija, kao i svi naši pokušaji da prikažemo fraktalne objekte. Računar vam omogućava da prikažete još mnogo koraka u ovom procesu, a rezultat je vrlo lijepa figura.

Mandelbrotov skup je konstruisan na malo drugačiji način. Razmotrimo funkciju fc (z) = z ^ 2 + c, gdje je c kompleksan broj. Konstruirajmo niz ove funkcije sa z0 = 0, ovisno o parametru c, može divergirati do beskonačnosti ili ostati ograničen. Štaviše, sve vrijednosti c za koje je ovaj niz ograničen čine Mandelbrotov skup. Detaljno su ga proučavali sam Mandelbrot i drugi matematičari, koji su otkrili mnoga zanimljiva svojstva ovog skupa.

Vidi se da su definicije skupova Julia i Mandelbrot slične jedna drugoj. U stvari, ova dva skupa su usko povezana. Naime, Mandelbrotov skup su sve vrijednosti kompleksnog parametra c za koje je povezan Julijev skup fc (z) (skup se naziva povezanim ako se ne može podijeliti na dva disjunktna dijela, uz neke dodatne uvjete).

Fraktali i život

Danas se teorija fraktala široko koristi u različitim poljima ljudske aktivnosti. Pored čisto naučnog objekta za istraživanje i već spomenutog fraktalnog slikanja, fraktali se u teoriji informacija koriste za kompresiju grafičkih podataka (ovdje se uglavnom koristi svojstvo samosličnosti fraktala - uostalom, kako bi se zapamtio mali fragment crtež i transformacije pomoću kojih možete dobiti ostale dijelove, mnogo manje je potrebna memorija nego za pohranjivanje cijele datoteke).

Dodavanjem slučajnih perturbacija formulama koje definišu fraktal, mogu se dobiti stohastički fraktali koji vrlo uvjerljivo prenose neke stvarne objekte - elemente reljefa, površinu vodenih tijela, neke biljke, što se uspješno koristi u fizici, geografiji i kompjuterskoj grafici za postizanje većeg sličnost simuliranih objekata sa stvarnim. U elektronici se proizvode antene koje imaju fraktalni oblik. Zauzimajući malo prostora, pružaju prilično kvalitetan prijem signala.

Ekonomisti koriste fraktale za opisivanje krivulja deviznog kursa (osobina koju je otkrio Mandelbrot). Ovim je završen ovaj mali izlet u nevjerovatno lijep i raznolik svijet fraktala.